طرق حل المعادلات التفاضلية الغير متجانسة من الرتبة الثانية

باستخدام النهج السليم تأتي طرق حل المعادلات التفاضلية الغير متجانسة من الرتبة الثانية، وترجع أهمية المعادلات التفاضلية إلى استخدامها في مجالات الفيزياء والهندسة، ومجالات أخرى هامة في الحياة، مثل التعرف على كيف تسير السيارة، وسير المركب فوق سطح الماء والكثير، ومن خلال موقع لحظات نيوز سنعرض كيفية حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة.

طرق حل المعادلات التفاضلية الغير متجانسة من الرتبة الثانية

ساعدت المعادلات التفاضلية في فهم العلوم الهندسية، والفيزيائية، هذا إلى جانب دراسة التحليل الرياضي، كما توسعت وأصبحت تستخدم في مجالات العلوم وتطبيقاتها، وفيها يلي طرق حل المعادلات التفاضلية الغير متجانسة من الرتبة الثانية:

مثال: x² y”+xy’+y=2

يمكن حل هذه المعادلة بأكثر من طريقة، ولكن الحل العام لها هو:

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral

نبدأ بالحل كأنها معادلة تفاضلية متجانسة، ثم نوجد التكامل الجزئي المُعبر عن الدالة التي توجد في الطرف الأيمن، لنذكر حل معادلة تفاضلية متجانسة، وهي:

y” + 3y’ – 4y = 0

الحل: بفرض أن y = e^rx، والصحيح هو: y = C e^rx

لكن الأفضل وضع C في نهاية الحل، لتجنب حدوث مشكلة، وتكون C في المشتقة أو في التكامل كما هي، مثال: مشتقة  2x  في المشتقة تكون 2، أو المشتقة 2e^x هي نفسها.

وبفرض أن y = e^rx حيث أن r هي عدد حقيقي ثابت، والآن توجد المشتقة الأولى والثانية y’ = re^rx   و  y” = r² e^rx

وبالتعويض في y” + 3y’ – 4y = 0

r² e^rx + 3re^rx – 4e^rx = 0

بأخذ  e^rx عامل مشترك، e^rx [r² + 3r – 4] =0

ومنها e^rx = 0  وهذا غير صحيح، إذا نأخذ الحل الثاني r² + 3r – 4 = 0

ثم نقوم باستخدام التحليل، أو القانون العام ll         (r + 4) (r -1) = 0

تجد r = 1  أو r = -4

بناءً على ذلك تكون كافة الحلول الممكنة للمعادلة السابقة هي:

y = c1 e^x   او y = c2 e^-4x

حيث أن c1 , c2 ثوابت، وقد تم اثبات أن الحلين يشكلان تركيب أو تحول خطي، أي أن مجموع الحلين حل للمعادلة، وبالتالي يكون الحل العام للمعادلة هو:

y = c1 e^x + c2 e^-4x

بصفة عامة يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية y” + ay’ + b y = 0

هو: y = c1 e^r1x + c2 e^r2x

حيث أن r1 , r2 هما جذور الدالة r² + ar + b = 0

تكون المعادلات التي هي بهذا الشكل y” + ay’ + b y = Q(x)   ll

الحل العام لها هو حل المعادلات التفاضلية الغير متجانسة من الرتبة الثانية:

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + particular integral

معادلة تفاضلية غير متجانسة من الدرجة الثانية

المعادلة التفاضلية غير المتجانسة هي تلك المعادلة التي لا تساوي الجانب الأيمن من المعادلة الصفرية، فعلى سبيل المثال:

ص» + 4y’ + 4y = 5x^2 + 3x

الحل: بفرض أن ص = ش(س)الخامس(س)، حيث u(x) وv(x) دالتان غير معروفتين، وبالتعويض في المعادلة نحصل على:

u»v + 2u’v’ + uv» + 4u’v + 4uv’ + 4uv = 5x^2 + 3x

بالتبسيط والتجميع نصل إلى: v(u» + 4u’ + 4u) + u(v» + 2v’ + 4v) = 5x^2 + 3x

الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة والغير متجانسة

يرجع الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة والغير متجانسة إلى أن أحد الأطراف سواء كان على يمين المساواة أو اليسار يجب أن يساوي صفرًا، بمعنى آخر أن الحد الثابت يجب أن يكون صفرًا.

أما المعادلة التفاضلية الغير متجانسة فإنه يلزم تواجد اقتران غير صفري، أي لا يساوي صفرًا على يمين أو يسار المساواة.

بجانب أنه عند حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة، ويكون حلها عبارة عن حل المعادلة المتجانسة إلى جانب حل المعادلة غير المتجانسة، وتشبه المعادلة التفاضلية غير المتجانسة إلى حد كبير المعادلة التفاضلية المتجانسة، ولكن الاختلاف هو وجود حد آخر يختلف عن المتغير الموجود في مشتقات الاقتران.

من خلال المقال السابق نكون قد عرضنا طرق حل المعادلات التفاضلية الغير متجانسة من الرتبة الثانية، وتستخدم هذه المعادلات في مجالات الرياضيات والفيزياء، والهندسة، كما تستخدم ايضًا في شبكات الهواتف الجوال، ومجال الأبحاث العلمية.